这个数学问题是初中时留下来的，一直没有解决掉，最近手机推送了圆内正17边形的做法的帖子，感觉思路对17边和5边是一样的。但那个帖子不是一个完整体系，索性找了关键的材料出来，供大家分享。
这个问题是，如果不借用量角器，可否用尺子和圆规在圆内做出等边多边形？哪些数目的等边多边形可做，哪些不可做。
比如下面的五角星，怎么用尺子和圆规来做？

它的具体做法是：

理论证明在1000以内，只有“    1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020”可以做。

蓝色的数字是风水感兴趣的数字。

可用尺规作图作出的正多边形应满足的充分必要条件：
正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马数（2^(2^n)+1）的积。

证明（网上很难找到相关资料，这里给出贴吧里作者的证明）：

先证明能由正a边形得到正2a边形。
设圆O的外接正a边形的顶点分别为A[0],A[1],...,A[a-1]，
B[0]为线段A[0]A[1]的中点，
线段A[0]A[1]的中垂线交劣弧A[0]A[1]于C[0]，
则可通过三角形全等的性质证明A[0]C[0]=A[1]C[0]。
以此类推可得2a边形A[0]C[0]A[1]C[1]A[2]C[2]...A[a-1]C[a-1]是圆O的外接正2a边形。

再证明能得到正4边形。
第1步：作圆O和它的一条直径D[0]D[2]。
第2步：作这条直径的中垂线，交圆O于D[1]和D[3]。
第3步：依次连接D[0]D[1]D[2]D[3]，则可得正4边形。
事实上，圆的一条直径就是它的内接正2边形。

再证明若正2b+1边形可用尺规作图作出（b为正整数），且2b+1为素数，则b是2的非负整数次方。
要证明以上命题成立，则只需要证明
若正2b+1边形可用尺规作图作出，则cos(2*pi*(1/(2*b+1)))为规矩数。
其中规矩数的定义是：
能用尺规作图法得到的数。
即：
若q为有理数，则sqrt(q)为规矩数；
若r为规矩数，则sqrt(r)仍为规矩数；
有限个规矩数进行有限次四则运算的结果依然是规矩数。
∴规矩数一定是代数数（即为一整系数代数方程的解），且以此解为其解的最小多项式的次数为2的非负整数次方。
要想求出cos(2*pi*(1/(2*b+1)))，就要通过切比雪夫多项式列b+1次方程
cos(2*pi*(b/(2*b+1)))=cos(2*pi*((b+1)/(2*b+1)))
由函数y=cos(x)的最小正周期为2*pi和代数基本定理可得b+1个解
cos(2*pi*(c/(2*b+1)))，其中c是非负整数且c≤b。
即有解1。
∴这个b+1次方程可化为b次方程，
∴当且仅当b是2的非负整数次方时（即b不能有奇素数因子），这个b次方程有规矩数解。

再证明若m和n互素，则可由给定的正m边形和正n边形作出正mn边形。
若m和n互素，则存在两个整数p,q使mp+nq=1，
∴可得到角2*pi/(m*n)。

再证明若正2^d+1边形可用尺规作图作出，则d也是2的非负整数次方。
若d有奇素数因子，
设d=f*2^g（f为大于1的奇数，g为非负整数），
则2^d+1=2^(f*2^g)+1
令2^(2^g)=h
则有2^d+1=(h+1)(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)
∴作出正2^d+1边形的充要条件为
作出正(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)边形，其中(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)与(h+1)互素。
∵(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)除以(h+1)的余式为f，
∴作出正2^d+1边形的充要条件为f与(h+1)互素，否则需要求解k次方程，
其中奇数k为f与(h+1)的大于1的公因子，
∴尺规作图得不到。
而h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1=(h-1)*(h^(f-2)+h^(f-4)+...+h)+1
=(2^(2^g-1)+2^(2^g-2)+...+4+2+1)*(2^((2^g)*(f-2))+h^2^((2^g)*(f-4))+...+2^(2^g))+1
不是2的非负整数次方+1。
∴尺规作图得不到。
∴d不能有奇素数因子，必须是2的非负整数次方。
∴综上所述得：
可用尺规作图作出的正多边形应满足的充分必要条件就是：
正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马数（2^(2^n)+1）的积。
（这部分源自【tieba.baidu.com/p/6207992291】“数学吧”）

世界万物总是有其规则，圆內等边多边形就是这样的规则，不是随意想是什么就是什么的。正确的风水理气也应该是类似的规则。
数学王子高斯用了一晚上解决了圆内17边等边形的做法，虽然这是一个很偏的数学问题，但却从它提出到高斯解决花了两千多年。

没师傅带，很多东西搞不定。 最近在看一本脑洞大开的风水玄幻小说《天降神婿》，也不知道是哪个人写的，绕啊绕，从“西江”市绕到宇宙星辰了，还没完

我个人分析，择日是理气的一个小分支，但也是理气的一个基础性根须之一。“太阳到山”就是择日的一个很好的理论，但理气中形峦的部分，和“太阳到山”是两个概念。当然，从亿年尺度来说，形峦的沧海桑田也是太阳造成的，但跟人类几代人十几代代人的作用时间而言，几乎没有差别。

王版说的对，最近三星堆出土的东西，对目前教科书的中国古文明有巨大的冲击。中华文明也许2万年前就开始有系统的观星工作分工了，只是记录介质太原始，丢失了太多。山洞残存壁画毕竟少少数。

古代没有光污染，看到天空有这么个巨大的光环，绝对是晚上最震撼的（除了明月）。这个银河光环每年周转1次（重新回到起点，但有一丁点西移），25600年重新回到最初的起点。
小时候的故事里那就是一条天上的河，现在其实它也是一条河 。

或者说从先民能训养水稻或小麦，大致掌握水稻或小麦种植时间就已经对风水的最初择日意识已经觉醒了。这个时间应该比公元前5000年的时间早很多。在只靠猎杀野兽和采集果子活着的人群阶段，是建立不了文明觉醒的，所以那种靠杀野兽和采集果子的原始社会还得提前。我个人不太相信有奴隶社会（光靠武力是无法保障自己不是猎物），但应该有契约社会（哪怕那时生产力很低下），当前以及将来的社会也是契约与规则共存的社会。

此例还想说明的是，一圈360度是西方近代引进中国的，中国古代一圈365度，古中国是按年的天数设定一圈的度数。但这个例子表明，不管是360度，还是365度，对正多边形划分都无影响，受影响只是划分的数字。384爻，64卦，24山，8卦，5行，阴阳，太极都是可以划分出正多边形的数字。这就是妙处。