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主题 : 由一个数学问题想到的
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楼主  发表于: 2021-06-07 15:31

0 由一个数学问题想到的

这个数学问题是初中时留下来的,一直没有解决掉,最近手机推送了圆内正17边形的做法的帖子,感觉思路对17边和5边是一样的。但那个帖子不是一个完整体系,索性找了关键的材料出来,供大家分享。
这个问题是,如果不借用量角器,可否用尺子和圆规在圆内做出等边多边形?哪些数目的等边多边形可做,哪些不可做。
比如下面的五角星,怎么用尺子和圆规来做?

它的具体做法是:

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    沙发  发表于: 2021-06-07 15:34

    理论证明在1000以内,只有“    1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020”可以做。

    蓝色的数字是风水感兴趣的数字。
    [ 此帖被万山前行在2021-06-07 16:10重新编辑 ]
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    板凳  发表于: 2021-06-07 15:40

    可用尺规作图作出的正多边形应满足的充分必要条件:
    正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马数(2^(2^n)+1)的积。

    证明(网上很难找到相关资料,这里给出贴吧里作者的证明):

    先证明能由正a边形得到正2a边形。
    设圆O的外接正a边形的顶点分别为A[0],A[1],...,A[a-1],
    B[0]为线段A[0]A[1]的中点,
    线段A[0]A[1]的中垂线交劣弧A[0]A[1]于C[0],
    则可通过三角形全等的性质证明A[0]C[0]=A[1]C[0]。
    以此类推可得2a边形A[0]C[0]A[1]C[1]A[2]C[2]...A[a-1]C[a-1]是圆O的外接正2a边形。

    再证明能得到正4边形。
    第1步:作圆O和它的一条直径D[0]D[2]。
    第2步:作这条直径的中垂线,交圆O于D[1]和D[3]。
    第3步:依次连接D[0]D[1]D[2]D[3],则可得正4边形。
    事实上,圆的一条直径就是它的内接正2边形。

    再证明若正2b+1边形可用尺规作图作出(b为正整数),且2b+1为素数,则b是2的非负整数次方。
    要证明以上命题成立,则只需要证明
    若正2b+1边形可用尺规作图作出,则cos(2*pi*(1/(2*b+1)))为规矩数。
    其中规矩数的定义是:
    能用尺规作图法得到的数。
    即:
    若q为有理数,则sqrt(q)为规矩数;
    若r为规矩数,则sqrt(r)仍为规矩数;
    有限个规矩数进行有限次四则运算的结果依然是规矩数。
    ∴规矩数一定是代数数(即为一整系数代数方程的解),且以此解为其解的最小多项式的次数为2的非负整数次方。
    要想求出cos(2*pi*(1/(2*b+1))),就要通过切比雪夫多项式列b+1次方程
    cos(2*pi*(b/(2*b+1)))=cos(2*pi*((b+1)/(2*b+1)))
    由函数y=cos(x)的最小正周期为2*pi和代数基本定理可得b+1个解
    cos(2*pi*(c/(2*b+1))),其中c是非负整数且c≤b。
    即有解1。
    ∴这个b+1次方程可化为b次方程,
    ∴当且仅当b是2的非负整数次方时(即b不能有奇素数因子),这个b次方程有规矩数解。

    再证明若m和n互素,则可由给定的正m边形和正n边形作出正mn边形。
    若m和n互素,则存在两个整数p,q使mp+nq=1,
    ∴可得到角2*pi/(m*n)。

    再证明若正2^d+1边形可用尺规作图作出,则d也是2的非负整数次方。
    若d有奇素数因子,
    设d=f*2^g(f为大于1的奇数,g为非负整数),
    则2^d+1=2^(f*2^g)+1
    令2^(2^g)=h
    则有2^d+1=(h+1)(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)
    ∴作出正2^d+1边形的充要条件为
    作出正(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)边形,其中(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)与(h+1)互素。
    ∵(h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1)除以(h+1)的余式为f,
    ∴作出正2^d+1边形的充要条件为f与(h+1)互素,否则需要求解k次方程,
    其中奇数k为f与(h+1)的大于1的公因子,
    ∴尺规作图得不到。
    而h^(f-1)-h^(f-2)+...+h^2-h+1=(h-1)*(h^(f-2)+h^(f-4)+...+h)+1
    =(2^(2^g-1)+2^(2^g-2)+...+4+2+1)*(2^((2^g)*(f-2))+h^2^((2^g)*(f-4))+...+2^(2^g))+1
    不是2的非负整数次方+1。
    ∴尺规作图得不到。
    ∴d不能有奇素数因子,必须是2的非负整数次方。
    ∴综上所述得:
    可用尺规作图作出的正多边形应满足的充分必要条件就是:
    正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马数(2^(2^n)+1)的积。
    (这部分源自【tieba.baidu.com/p/6207992291】“数学吧”)
    [ 此帖被万山前行在2021-06-07 16:11重新编辑 ]
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    3楼  发表于: 2021-06-07 15:46

    世界万物总是有其规则,圆內等边多边形就是这样的规则,不是随意想是什么就是什么的。正确的风水理气也应该是类似的规则。
    数学王子高斯用了一晚上解决了圆内17边等边形的做法,虽然这是一个很偏的数学问题,但却从它提出到高斯解决花了两千多年。
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    4楼  发表于: 2021-06-07 15:59

    回 3楼(万山前行) 的帖子

    引申 非常棒!     

    学术味道浓厚。

    理气确实有正确的公式或者说是法则,以前我说过,脱离了物理的理气,都是假的。

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    5楼  发表于: 2021-06-07 16:02

    回 3楼(万山前行) 的帖子

    只是有点遗憾,要从  公式  或者  所谓科学的研究态度,来破解风水理气,恐怕比飞出银河系更难,因为理气是至上而下的,也就是说  你(泛指)  是几乎只能被传承的,因为创造过程太长太长。

      
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    6楼  发表于: 2021-06-07 16:05

    泛泛的说,恐怕也枯燥,说点有用的吧:

          天星正运,和 天心正运  ,不是一个概念。

          目前择日中的天心正运,和理气的天心正运,更不是一个概念。

          如果你(泛指)坚持以往,那么我就算是仅仅给有缘者说。
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    7楼  发表于: 2021-06-07 16:14

    回 6楼(王兄) 的帖子

    没师傅带,很多东西搞不定。 最近在看一本脑洞大开的风水玄幻小说《天降神婿》,也不知道是哪个人写的,绕啊绕,从“西江”市绕到宇宙星辰了,还没完
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    8楼  发表于: 2021-06-07 16:21

    回 6楼(王兄) 的帖子

    我个人分析,择日是理气的一个小分支,但也是理气的一个基础性根须之一。“太阳到山”就是择日的一个很好的理论,但理气中形峦的部分,和“太阳到山”是两个概念。当然,从亿年尺度来说,形峦的沧海桑田也是太阳造成的,但跟人类几代人十几代代人的作用时间而言,几乎没有差别。
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    9楼  发表于: 2021-06-07 16:36

    我说的创造,是理气的创造,理气来源于天象,从观察并推演到最后入用  的真理气,不是一两千年可以完成的。

    理气推演过程的上溯,可以追寻至万年前的两河流域的古文明(非两伊文明),但此古,就是 真古  么?

    风水的一物一太极内,学无止境。更何况宇宙博大。
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